Caos, fractales y sistemas dinámicos
Atractor de Lorenz
La mariposa del caos: el primer atractor extraño, descubierto en un modelo del clima.
Dos mariposas casi gemelas
Dos trayectorias (azul y naranja) parten de puntos casi idénticos. Míralas coincidir un rato… y separarse para siempre: eso es el efecto mariposa.
Ecuaciones de Lorenz con los parámetros clásicos $\sigma = 10$, $\rho = 28$, $\beta = 8/3$, integradas con el método de Runge–Kutta.
En 1963, el meteorólogo y matemático Edward Lorenz destiló la convección de la atmósfera —aire caliente que sube, aire frío que baja— en tres ecuaciones pequeñas:
con los valores hoy clásicos \(\sigma = 10\), \(\rho = 28\), \(\beta = 8/3\). Esperaba un comportamiento sencillo. Encontró otra cosa: la trayectoria nunca se detiene ni se repite, y dibuja en el espacio una figura inolvidable con dos alas — la mariposa de Lorenz, que puedes ver girar en el aparato de la sala y en el demo de esta página.
El descubrimiento accidental
La sensibilidad del sistema se le reveló a Lorenz por un accidente de redondeo: al reanudar un cálculo tecleó \(0.506\) en lugar de \(0.506127\), y la nueva simulación, tras un rato de coincidir, se separó por completo de la original. Una diferencia de una parte en diez mil había cambiado todo el "clima" simulado. De ahí nació la pregunta que dio nombre al fenómeno: ¿el aleteo de una mariposa en Brasil puede desatar un tornado en Texas? — el efecto mariposa, con la deliciosa coincidencia de que el atractor mismo tiene forma de mariposa.
Un atractor extraño
La figura es un atractor: trayectorias que empiezan en lugares muy distintos terminan todas envueltas en las mismas dos alas. Y es extraño: dentro de él, la trayectoria salta de un ala a otra en una secuencia irregular que nunca entra en ciclo, y el conjunto mismo es un fractal — infinitas capas de superficie apiladas, con dimensión apenas mayor que \(2\) (aproximadamente \(2.06\)). Orden global, impredecibilidad local: el emblema perfecto del caos.
Durante décadas quedó la duda de si la mariposa era un artefacto de las computadoras o un objeto matemático real. En 2002, Warwick Tucker cerró la pregunta con una demostración asistida por computadora rigurosa: el atractor de Lorenz existe y es genuinamente caótico. (La pregunta era tan seria que Stephen Smale la había incluido en su lista de problemas para el siglo XXI.)
Para pensar
En el demo de esta página se lanzan dos trayectorias casi idénticas a la vez. Obsérvalas: ¿cuántas vueltas tardan en volverse independientes? Estás viendo, en vivo, la razón matemática por la que el pronóstico del tiempo caduca en unos diez días.