Curvas y superficies
Curvas de ancho constante
Figuras que no son círculos pero ruedan igual de parejo, como el triángulo de Reuleaux.
Mide el ancho mientras gira
La figura gira y las dos rectas verdes la aprietan por los lados, como un calibrador. Observa el número: el ancho no cambia jamás, aunque la figura no sea un círculo.
Las curvas se construyen con arcos de círculo centrados en los vértices de un polígono regular con un número impar de lados.
Coloca una tabla sobre varios rodillos circulares y rodará suavemente, sin subir ni bajar. Nada raro: el círculo tiene el mismo ancho en todas las direcciones. Lo sorprendente es que no es la única figura con esa propiedad.
El triángulo de Reuleaux
Toma un triángulo equilátero y reemplaza cada lado por un arco de círculo centrado en el vértice opuesto. La figura resultante —el triángulo de Reuleaux— tiene el mismo ancho \(d\) en cualquier dirección en que la midas con dos rectas paralelas. Una tabla que ruede sobre rodillos con esta forma avanza tan lisa como sobre rodillos circulares, como puedes comprobar en el aparato de la sala y en el demo de esta página.
Ojo con una diferencia importante: estas figuras sirven como rodillos, pero no como ruedas, porque su "centro" sube y baja al girar aunque su parte más alta se mantenga a altura constante.
Propiedades notables
Hay una infinidad de curvas de ancho constante: se pueden construir a partir de cualquier polígono regular con un número impar de lados (las monedas británicas de 20 y 50 peniques son heptágonos de Reuleaux, cómodas para las máquinas expendedoras precisamente por su ancho constante). Dos teoremas clásicos las gobiernan:
- Teorema de Barbier: toda curva de ancho constante \(d\) tiene el mismo perímetro que el círculo: \(\pi d\).
- Teorema de Blaschke–Lebesgue: entre todas ellas, el triángulo de Reuleaux es la de menor área, y el círculo la de mayor.
De la sala al mundo
El triángulo de Reuleaux aparece en brocas que taladran agujeros (casi) cuadrados, en el mecanismo de los motores rotativos tipo Wankel que llevaron algunos automóviles, y en tapas de alcantarilla que no pueden caerse por su propio agujero.
Sólidos de ancho constante… y un descubrimiento mexicano
En tres dimensiones también existen cuerpos de ancho constante: ruedan entre dos placas manteniéndolas siempre paralelas. El más conocido es el tetraedro de Reuleaux modificado, los llamados sólidos de Meissner.
Pero la historia no está cerrada, y aquí hay orgullo local: hace poco se descubrieron en México nuevas familias de sólidos de ancho constante, obra de Isaac Arelio, Marcela Mercado-Flores, Luis Montejano, Déborah Oliveros, Miguel Raggi y Edgardo Roldán-Pensado. Los que están sobre la mesa que tienes enfrente en la sala son precisamente de esos: puedes tomarlos, hacerlos rodar bajo una tabla y comprobar con las manos que la tabla no sube ni baja.
Que un problema con siglos de antigüedad siga dando objetos nuevos —y que salgan de un instituto mexicano— dice bastante sobre cómo funcionan las matemáticas: los temas viejos no se agotan, se profundizan.
Para pensar
Si una figura de ancho constante gira dentro de un cuadrado de lado \(d\), toca los cuatro lados todo el tiempo. ¿Qué fracción del cuadrado puede barrer? (El triángulo de Reuleaux barre casi todo: deja solo unas esquinitas redondeadas.)