Fractal octaédrico

La escultura que tienes enfrente se construye con una sola instrucción, repetida sin piedad: reemplaza cada octaedro por seis octaedros a la mitad de escala, uno en cada vértice. Lo que el ojo recorre es el resultado de aplicar esa regla una y otra vez: un octaedro hecho de octaedros, hechos a su vez de octaedros — un fractal autosemejante.

La contabilidad del infinito

Cada paso de la construcción multiplica el número de piezas por \(6\) y divide su tamaño entre \(2\). Esa pareja de números lo dice todo sobre el objeto límite:

• Volumen: cada paso conserva \(6 \times \tfrac18 = \tfrac34\) del volumen; tras infinitos pasos, el volumen es cero.
• Superficie: crece sin límite paso a paso; el área del fractal es infinita.
• Dimensión: un objeto que consta de \(6\) copias de sí mismo a escala \(\tfrac12\) tiene dimensión de autosemejanza $\(\dim = \frac{\log 6}{\log 2} \approx 2.585.\)$

No es un sólido (dimensión 3) ni una superficie (dimensión 2): vive genuinamente entre ambas. Las dimensiones fraccionarias, que dan su nombre a los fractales (Mandelbrot, 1975), no son una metáfora sino una medida precisa de cuán arrugado está un conjunto.

Una familia de esculturas infinitas

El fractal octaédrico es primo de celebridades: la esponja de Menger (cubo perforado hasta la dimensión \(\log 20/\log 3 \approx 2.727\)), el tetraedro de Sierpiński (cuya dimensión es exactamente \(2\): ¡una "superficie" hecha de tetraedros!) y el triángulo de Sierpiński que aparece escondido en el Triángulo de Pascal de esta misma sala si pintas los números impares. Todos comparten el mismo ADN: el todo es idéntico a sus partes, salvo escala.

La naturaleza usa el truco constantemente, aunque solo unas cuantas iteraciones: los alvéolos empacan una cancha de tenis de superficie de intercambio dentro de tu pecho, el brócoli romanesco lleva la autosemejanza en cada florete, y las costas, los ríos y los rayos se miden mejor con dimensiones fraccionarias que con reglas lisas.

Para pensar

Mira la escultura desde un vértice, en la dirección de una diagonal. Muchos fractales octaédricos esconden proyecciones sorprendentes: las sombras de un objeto de dimensión \(2.585\) pueden llenar el plano por completo. ¿Qué sombra alcanzas a ver tú? (La pieza "La sombra de los objetos" es su cómplice natural.)