La sombra de los objetos

Una sombra es una proyección: la luz toma un objeto tridimensional y lo aplasta sobre una superficie plana, perdiendo una dimensión en el camino. En esta pieza puedes girar objetos frente a una luz y descubrir que un mismo cuerpo produce sombras sorprendentemente distintas.

Un objeto, muchas sombras

Un cubo puede dar como sombra un cuadrado, un rectángulo o —si lo sostienes apoyado en un vértice— un hexágono regular. Un cilindro proyecta un círculo o un rectángulo según cómo lo ilumines; con esa idea se diseñan piezas que parecen "imposibles", con tres sombras completamente diferentes, como el famoso objeto que desde un lado se ve círculo, desde otro cuadrado y desde otro triángulo.

La moraleja matemática: la sombra no determina al objeto. Al proyectar se pierde información, y cuerpos muy distintos pueden proyectar exactamente la misma silueta.

La geometría de proyectar

En términos de coordenadas, la proyección más simple es la función $\((x, y, z) \longmapsto (x, y),\)$ que simplemente olvida la altura \(z\). Las sombras producidas por el sol (rayos casi paralelos) se describen con proyecciones paralelas; las de una lámpara cercana, con proyecciones centrales, las mismas que estudia la geometría proyectiva y que usan los pintores desde el Renacimiento para construir la perspectiva.

Proyectar es también la herramienta con la que "vemos" dimensiones superiores: así como la sombra de un cubo es una figura plana, la sombra de un hipercubo de dimensión 4 es un objeto tridimensional. Varias piezas de esta sala —busca el hipercubo— son precisamente sombras de objetos que viven en la cuarta dimensión.

Para pensar

¿Existirá un objeto cuya sombra sea un círculo desde cualquier dirección… además de la esfera? La respuesta se relaciona con otra pieza de la sala: las curvas de ancho constante.