Las cónicas

Las cónicas son las sombras de los círculos. Puedes comprobarlo con una lámpara de mano y un aro: ilumina el piso con la lámpara a través del aro e inclínala poco a poco. La mancha de luz irá cambiando de forma, y cada forma que aparece es una cónica.

Hace más de dos mil años, los griegos observaron que estas mismas curvas se obtienen al cortar un cono con un plano. Rebana un cono y el borde del corte solo puede ser una de cuatro curvas: círculo, elipse, parábola o hipérbola. Todo depende de la inclinación del cuchillo:

• Corte horizontal: un círculo.
• Corte un poco inclinado: una elipse.
• Corte paralelo a la pared del cono: una parábola.
• Corte aún más empinado (atraviesa los dos mantos del cono doble): una hipérbola, con sus dos ramas.

Un par de imágenes para quedarse con ellas: una elipse es lo que ves al mirar un círculo de ladito, y si ves un círculo desde adentro, ves un pedazo de hipérbola — como el borde de una plaza de toros vista desde la arena. La parábola, en cambio, es el paso efímero entre las elipses y las hipérbolas: la frontera exacta entre ambas familias.

De Apolonio a las órbitas

Los griegos las estudiaron a fondo —el tratado Las Cónicas de Apolonio de Perga (siglo III a. C.) es una de las cumbres de la matemática antigua— por pura curiosidad geométrica. Dos mil años después resultaron ser, increíblemente, las curvas del cosmos: Kepler descubrió que los planetas recorren elipses con el Sol en un foco, y Newton demostró que bajo la gravedad todo cuerpo sigue una cónica: los cometas periódicos viajan en elipses alargadísimas, y un visitante interestelar que pasa una sola vez dibuja una hipérbola.

Una sola familia

En coordenadas, todas las cónicas son las soluciones de una ecuación de segundo grado $\(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,\)$ y el signo del discriminante \(B^2 - 4AC\) decide cuál de las tres es (negativo: elipse; cero: parábola; positivo: hipérbola). La parábola es la frontera exacta entre las otras dos: una elipse que se estira hasta que un extremo se va al infinito.

Otra manera de unificarlas: una cónica es el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo (el foco) y a una recta fija (la directriz) guardan una proporción constante \(e\), la excentricidad. Con \(e<1\) sale una elipse, con \(e=1\) una parábola y con \(e>1\) una hipérbola.

Las dos piezas vecinas de la sala exploran el secreto mejor guardado de estas curvas: sus focos.