Poliedros, politopos y geometrías
Las geometrías tridimensionales
En dimensión 3 no son tres las geometrías posibles: son ocho, y clasificarlas costó cien años y un millón de dólares.
La pieza vecina cuenta que en dimensión 2 hay tres geometrías homogéneas: plana, esférica e hiperbólica. La pregunta natural —¿y en dimensión 3, el espacio donde vivimos?— resultó ser una de las más profundas de las matemáticas del siglo XX.
Ocho mundos posibles
En dimensión 3 hay ocho geometrías homogéneas. Tres son las conocidas: la euclidiana, la esférica \(S^3\) y la hiperbólica \(\mathbb{H}^3\). Dos son mezclas "en capas": \(S^2 \times \mathbb{R}\) y \(\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}\) (una geometría bidimensional apilada a lo largo de una recta). Y tres son más exóticas, con nombres técnicos —Nil, Sol y la geometría del grupo \(\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}\)— donde el espacio está "torcido" sobre sí mismo: en Nil, por ejemplo, subir en espiral y subir derecho no dan el mismo resultado, como en un estacionamiento de rampas infinitas.
La conjetura de geometrización
En los años setenta, William Thurston lanzó una visión audaz: todo espacio tridimensional cerrado se puede cortar de manera canónica en piezas, y cada pieza admite exactamente una de las ocho geometrías. Esta conjetura de geometrización incluía como caso particular a la famosísima conjetura de Poincaré (1904): si un espacio tridimensional cerrado no tiene "hoyos" esenciales —todo lazo se puede contraer a un punto—, entonces es la esfera \(S^3\).
La demostración llegó en 2002–2003, por un camino inesperado: Grigori Perelman hizo fluir la geometría misma, con una ecuación (el flujo de Ricci de Richard Hamilton) que deforma el espacio como el calor se difunde en un metal, hasta que cada pieza revela su geometría natural. Perelman rechazó la medalla Fields y el premio de un millón de dólares del Instituto Clay: dijo que la demostración era recompensa suficiente.
¿Y nuestro universo?
La pregunta no es solo abstracta: el universo es un espacio tridimensional (que además evoluciona en el tiempo), y su forma global es una incógnita real de la cosmología. Las mediciones actuales del fondo cósmico de microondas indican que a gran escala es muy aproximadamente plano — pero si tiene curvatura pequeñísima, o si es finito y "se cierra" sobre sí mismo como un toro tridimensional, aún no lo sabemos. La clasificación que tienes enfrente es, literalmente, el catálogo de las formas posibles del cosmos.