Las tres geometrías de dimensión 2

¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo? "180 grados", dice la escuela. La respuesta completa es más interesante: depende del mundo donde vive el triángulo. Hay exactamente tres geometrías bidimensionales homogéneas —iguales en todos sus puntos y direcciones— y esta pieza te deja tocarlas.

Los tres mundos

• Geometría euclidiana (curvatura cero): el plano de siempre. Los ángulos del triángulo suman exactamente \(180°\), las paralelas existen y son únicas, y el teorema de Pitágoras funciona.

• Geometría esférica (curvatura positiva): la superficie de una esfera. Las "rectas" son los círculos máximos (como los meridianos), y todo triángulo suma más de \(180°\): el triángulo entre el polo norte y dos puntos del ecuador puede tener ¡tres ángulos rectos! No hay paralelas: dos rectas cualesquiera siempre se cruzan. El exceso de la suma es proporcional al área del triángulo.

• Geometría hiperbólica (curvatura negativa): el mundo con forma de silla de montar en todos sus puntos, el que se modela con lechugas, corales y las teselaciones circulares de Escher (Límite circular). Los triángulos suman menos de \(180°\), y por cada recta pasan infinitas paralelas a otra dada.

El escándalo de las paralelas

Durante dos mil años se intentó demostrar que la geometría de Euclides era la única posible, deduciendo el axioma de las paralelas de los otros. En el siglo XIX, Gauss, Bolyai y Lobachevski descubrieron que negar ese axioma no produce contradicción, sino otra geometría igual de consistente: la hiperbólica. Fue un terremoto filosófico: la geometría dejó de ser una verdad única sobre el espacio y se volvió una familia de mundos posibles. Cuando Einstein necesitó describir un universo donde la materia curva el espacio, el lenguaje ya estaba listo.

Toda superficie elige su geometría

El teorema de uniformización (Poincaré y Koebe, 1907) corona la historia: toda superficie, por complicada que sea, se puede vestir con exactamente una de las tres geometrías. La esfera con la esférica, el toro (la dona) con la plana y —quizá sorprendentemente— todas las demás superficies, las de dos o más hoyos, con la hiperbólica. En dimensión 2, estos tres mundos no son ejemplos: son todo lo que hay. Lo que ocurre en dimensión 3 es la historia de la pieza vecina.