Los infinitos dígitos de π

Divide el perímetro de cualquier círculo —una moneda, una pizza, el ecuador terrestre— entre su diámetro y siempre obtendrás el mismo número:

Un número que no cabe en una fracción

En 1761, Johann Lambert demostró que \(\pi\) es irracional: no es igual a ninguna fracción \(p/q\), y por eso su expansión decimal nunca termina ni cae en un ciclo que se repita. Más aún, en 1882 Ferdinand von Lindemann probó que \(\pi\) es trascendente: no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Esa es la razón profunda por la que el problema griego de la cuadratura del círculo —construir con regla y compás un cuadrado con la misma área que un círculo dado— es imposible.

La caza de dígitos

Arquímedes atrapó a \(\pi\) entre polígonos: con uno de 96 lados demostró que \(3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}\). Siglos de fórmulas cada vez más ingeniosas, como la serie $\(\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots,\)$ llevaron de decenas a millones de decimales; hoy las computadoras conocen cientos de billones de dígitos. Para cualquier uso práctico bastan unos cuarenta: con ellos se calcula la circunferencia del universo observable con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno.

Se cree que los dígitos de \(\pi\) se comportan como si fueran aleatorios —que cada cifra y cada bloque de cifras aparece con la misma frecuencia—, propiedad llamada normalidad. Nadie ha logrado demostrarlo: es otro problema abierto.

π está en todas partes

Lo notable es que \(\pi\) aparece lejos de los círculos: en la campana de Gauss de la estadística, en el péndulo de un reloj, en la suma \(1+\frac14+\frac19+\cdots = \frac{\pi^2}{6}\), e incluso en experimentos de agujas que caen sobre un piso rayado (la aguja de Buffon). Donde hay ondas, azar o simetría, tarde o temprano asoma \(\pi\).