Mosaicos y simetrías
Mosaico de Penrose
Dos piezas que cubren el plano entero, pero jamás de forma repetitiva; el orden sin repetición.
En 1974, el físico y matemático Roger Penrose (premio Nobel de Física 2020, por otros motivos) encontró un par de piezas extraordinarias: dos rombos —uno "gordo" de ángulos \(72°\)–\(108°\) y uno "flaco" de \(36°\)–\(144°\)— que cubren todo el plano, pero con una restricción en la manera de ensamblarlos que hace imposible que el patrón se repita periódicamente. Es un mosaico aperiódico: orden perfecto, repetición ninguna.
Orden sin periodo
Parece contradictorio, pero el mosaico de Penrose es a la vez ordenadísimo y nunca igual a sí mismo:
- Cualquier región finita del mosaico reaparece infinitas veces en él (¡pero desplazada y nunca con un patrón periódico global!).
- Tiene una simetría "prohibida" para los cristales periódicos: alrededor de ciertos puntos, el patrón luce igual al girarlo \(72°\), una simetría de orden 5.
- La proporción entre el número de rombos gordos y flacos no es una fracción: es el número áureo \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618\), la firma del pentágono escondida en el mosaico. Esta sola irracionalidad ya demuestra que el patrón no puede ser periódico.
De juego geométrico a premio Nobel
Durante décadas, los cristalógrafos "sabían" que la materia ordenada solo podía tener simetrías de orden 2, 3, 4 y 6. En 1982, Dan Shechtman observó una aleación cuyos rayos X mostraban una nítida simetría de orden 5: había descubierto los cuasicristales, materia real ordenada como un mosaico de Penrose tridimensional. Al principio casi nadie le creyó; en 2011 recibió el premio Nobel de Química.
La historia siguió: en 2023 se descubrió "la baldosa del sombrero" (the hat), una sola pieza que cubre el plano únicamente de forma aperiódica, resolviendo el llamado problema del einstein ("una piedra", en alemán) tras medio siglo de búsqueda.
Para pensar
En la sala hay también un cuadro con la teselación de Ammann–Beenker (búscalo en "Matemáticas visibles"): la prima octagonal del mosaico de Penrose, con simetría prohibida de orden 8 y la proporción plateada \(1+\sqrt2\) en lugar de la áurea.