Nudos mansos

Para un matemático, un nudo es una cuerda anudada con los extremos pegados: una curva cerrada en el espacio. Dos nudos se consideran el mismo si uno puede deformarse en el otro moviendo la cuerda sin cortarla ni atravesarla por sí misma. La pregunta central de la teoría es engañosamente simple: dadas dos marañas de cuerda, ¿son el mismo nudo?

¿Qué quiere decir «manso»?

Un nudo es manso (tame, en inglés) si se puede acomodar como un polígono de un número finito de segmentos rectos — equivalentemente, si se puede hacer con una cuerda real, de grosor positivo, sin necesitar detalle infinito. Todos los nudos de la vida cotidiana son mansos: el nudo de tus agujetas (con las puntas pegadas), el trébol, el nudo ocho. Los nudos que no son mansos se llaman salvajes, requieren anudamiento infinitamente fino, y tienen su propia pieza en esta sala, aquí al lado.

Cómo distinguir nudos

A simple vista es dificilísimo: una misma curva puede dibujarse de maneras irreconocibles (¡hay diagramas del nudo trivial —el aro sin anudar— con cientos de cruces que nadie sabría desanudar a ojo!). La herramienta matemática son los invariantes: cantidades que no cambian al deformar la cuerda. Si dos diagramas tienen invariantes distintos, son nudos distintos, y no hay más que discutir.

• El número mínimo de cruces: el trébol es el nudo no trivial más simple, con 3 cruces.
• El número de tricoloraciones: ¿de cuántas maneras puedes pintar los arcos del diagrama con 3 colores, con reglas fijas en cada cruce? El trébol admite pinturas no triviales y el aro no: ¡por lo tanto el trébol está genuinamente anudado!
• Polinomios como el de Alexander (1923) o el de Jones (1984), que le asignan a cada nudo una expresión algebraica. El polinomio de Jones distingue, por ejemplo, al trébol de su imagen en el espejo: el trébol es quiral.

¿Y para qué?

La teoría de nudos nació de una idea física equivocada (lord Kelvin creía que los átomos eran nudos de éter) y floreció como matemática pura. Un siglo después, la física la reclamó de vuelta: el ADN de tu cuerpo se anuda y desanuda mediante enzimas cuya acción se analiza con teoría de nudos, ciertos materiales cuánticos se describen con el polinomio de Jones, y la química sintetiza moléculas anudadas. En esta sala puedes comparar la tabla completa de los nudos pequeños — la "tabla periódica" de la pieza vecina.