Politopos. El cuadrado, el cubo y el hipercubo

Los objetos cotidianos tienen tres dimensiones: ancho, alto y largo. En física se suele considerar al tiempo como una cuarta dimensión y, con las matemáticas, podemos entender figuras en cualquier dimensión. Por ejemplo, hay «cajas» en todas las dimensiones: en una dimensión son los segmentos, en dos son los cuadrados, en tres son los cubos… y en cuatro o más, ¡son los hipercubos!

Hay una escalera que sube por las dimensiones, y cualquiera puede treparla con un truco: arrastrar.

• Toma un punto (dimensión 0) y arrástralo: obtienes un segmento (dimensión 1), con 2 extremos.
• Arrastra el segmento perpendicularmente a sí mismo: un cuadrado (dimensión 2), con 4 vértices y 4 lados.
• Arrastra el cuadrado hacia arriba: un cubo (dimensión 3), con 8 vértices, 12 aristas y 6 caras.
• Arrastra el cubo en una dirección perpendicular a las tres conocidas… y obtienes el hipercubo o teseracto (dimensión 4): 16 vértices, 32 aristas, 24 caras cuadradas y 8 celdas cúbicas.

Que no podamos ejecutar el último arrastre en nuestro espacio no impide calcularlo: cada arrastre duplica los vértices (\(2^n\) en dimensión \(n\)) y la combinatoria completa se deduce con la misma regla. La familia entera —segmento, cuadrado, cubo, hipercubo, …— son los politopos más sencillos; "politopo" es la palabra general para las figuras de vértices, aristas y caras planas en cualquier dimensión.

¿Cómo se ve un hipercubo?

Igual que dibujamos un cubo sobre papel (¡una figura 3D en una hoja 2D!) mediante una proyección, podemos proyectar la sombra del hipercubo a nuestro espacio. El modelo clásico —un cubo chico dentro de un cubo grande, unidos vértice a vértice— es exactamente eso: la sombra tridimensional de un objeto de cuatro dimensiones. Los 8 "cubos deformados" que puedes contar en el modelo (el chico, el grande y los 6 troncos de pirámide entre ambos) son las 8 celdas cúbicas del teseracto, deformadas por la proyección igual que la sombra deforma las caras de un cubo.

Los primos regulares del hipercubo

En dimensión 3 hay cinco poliedros regulares (los sólidos platónicos de la pieza vecina). En dimensión 4 hay seis politopos regulares, incluida una joya sin análogo en ninguna otra dimensión: el de 24 celdas. Y a partir de la dimensión 5, la lista se congela para siempre en tres: el símplex (primo del tetraedro), el hipercubo y su dual (primo del octaedro). La regularidad perfecta, curiosamente, es más rara cuanto más espacio hay.

Para pensar

La diagonal de un cuadrado de lado 1 mide \(\sqrt2\); la de un cubo, \(\sqrt3\); la del hipercubo, \(\sqrt4 = 2\): ¡exactamente el doble del lado! ¿Cuánto mide en dimensión \(100\)?