Simetrías de la música

Hay cuatro maneras de colocar estas partituras, y cada una produce una melodía diferente. Escúchalas con atención: ¿reconoces la melodía original al tocarla de otras maneras? ¿Qué pasa con los sonidos graves y agudos? ¿Qué otros cambios identificas?

La explicación es geométrica. Una partitura es un plano: el tiempo corre hacia la derecha y la altura de las notas sube hacia arriba. Las cuatro posiciones son exactamente las simetrías de un rectángulo:

• Reflejar en la vertical es tocar la pieza al revés, de la última nota a la primera.
• Reflejar en la horizontal es intercambiar los tonos agudos por graves y viceversa.
• Rotar \(180°\) hace las dos cosas a la vez.
• Y dejarla tal cual, por supuesto.

En ese plano, los compositores han usado desde hace siglos las mismas isometrías que generan los mosaicos de esta sala — muchas veces sin llamarlas por su nombre.

El catálogo del compositor

• Traslación horizontal (en el tiempo): repetir un motivo más tarde. Es el recurso más básico de toda la música, del riff de rock al ostinato barroco.
• Traslación vertical (en la altura): la transposición, repetir la melodía empezando en otra nota. En un canon como Frère Jacques, las voces entran trasladadas en el tiempo; en la fuga, además, trasladadas en altura.
• Reflexión horizontal (espejo de arriba/abajo): la inversión. Donde la melodía subía una tercera, ahora baja una tercera. Bach la usa constantemente en El arte de la fuga.
• Reflexión vertical (espejo del tiempo): la retrogradación, tocar la melodía de atrás hacia adelante. El ejemplo legendario es el canon cangrejo de la Ofrenda Musical de Bach: dos voces tocan la misma línea, una al derecho y otra al revés, y suenan perfectamente juntas.
• Combinando ambas reflexiones se obtiene la retrogradación invertida — una rotación de \(180°\) del motivo, como girar la partitura de cabeza.

La aritmética del reloj de doce horas

Hay otra estructura matemática sonando: las octavas. Dos notas separadas por una octava se perciben como "la misma", así que las doce notas de la escala cromática forman un círculo, como un reloj de 12 horas. Transponer es sumar un número fijo módulo 12; invertir es multiplicar por \(-1\). El grupo de simetrías resultante es el mismo grupo diédrico \(D_{12}\) que tiene un dodecágono regular. En el siglo XX, compositores como Schoenberg construyeron un método entero (el dodecafonismo) sobre estas operaciones, y la teoría musical moderna analiza acordes y voces con teoría de grupos y hasta con topología.

¿Habrá una melodía que no cambie?

Es la pregunta que deja abierta la sala, y tiene respuesta: sí, existen. Una melodía que suena igual al derecho y al revés se llama palíndroma, y es el equivalente musical de «anilina» o «reconocer». El canon cangrejo de Bach juega precisamente con eso, y Haydn escribió un minueto (el de su Sinfonía n.º 47) cuya segunda mitad es la primera tocada al revés. Componer así es difícil justamente porque impone una restricción de simetría a algo que el oído percibe en una sola dirección.

Johann Sebastian Bach fue el maestro de las simetrías de la música, y por eso su nombre aparece cada vez que se habla de este tema.

Para pensar

En el aparato de la sala puedes colocar las partituras en distintas posiciones y escuchar el resultado. ¿Cuáles simetrías reconoce tu oído con facilidad y cuáles no? Casi todo el mundo detecta la transposición; muy pocos, la retrogradación. Nuestra percepción del tiempo musical no es simétrica — y esa asimetría también es un dato matemático interesante.