Sólidos platónicos

Un sólido platónico es un poliedro perfectamente regular: todas sus caras son el mismo polígono regular y en cada vértice se encuentra el mismo número de caras. La lista completa es asombrosamente corta — son cinco y no puede haber más:

Sólido	Caras	Vértices	Aristas
Tetraedro	4 triángulos	4	6
Cubo	6 cuadrados	8	12
Octaedro	8 triángulos	6	12
Dodecaedro	12 pentágonos	20	30
Icosaedro	20 triángulos	12	30

La palabra lo dice todo: poli = muchos, edros = caras. ¿Qué tienen en común un diamante, un dado y las pirámides de Egipto? Que su superficie está formada por polígonos. Son poliedros.

Un sólido platónico cumple tres reglas: sus caras son polígonos regulares todos iguales, en cada esquina se reúne el mismo número de caras, y el cuerpo es convexo (no tiene abolladuras: si unes dos puntos cualesquiera de su interior con un segmento, el segmento se queda dentro).

¿Por qué solo cinco?

El argumento cabe en una servilleta. En cada vértice deben juntarse al menos \(3\) caras, y la suma de sus ángulos debe ser menor que \(360°\) (si llega a \(360°\), el vértice se aplana). Con triángulos equiláteros (\(60°\)) caben \(3\), \(4\) o \(5\) en un vértice → tetraedro, octaedro, icosaedro. Con cuadrados (\(90°\)) solo caben \(3\) → cubo. Con pentágonos (\(108°\)) solo caben \(3\) → dodecaedro. Con hexágonos, \(3 \times 120° = 360°\): se aplana, y no hay poliedro. De ahí en adelante los ángulos ya ni siquiera permiten formar una figura plana. Fin de la lista.

Hay otra forma de verlo, con las manos, que es la que puedes seguir en la mesa de la sala: pega tres triángulos por sus lados y trata de cerrar la esquina; verás que la única manera de continuar es completar un tetraedro. Con cuatro triángulos en la esquina, la única salida es el octaedro; con cinco, el icosaedro; con seis, la figura queda plana y ya no se puede doblar.

Si se valen dos tipos de polígono

Al relajar la regla y permitir dos clases de caras aparecen muchos poliedros nuevos. Uno lo conoces bien: si le cortas las esquinas a un icosaedro obtienes el icosaedro truncado, con pentágonos y hexágonos — el modelo del balón de futbol clásico.

Los cinco cumplen además la hermosa fórmula de Euler, válida para cualquier poliedro sin agujeros:

(vértices menos aristas más caras). Compruébala en la tabla.

Dualidad y una historia de 2400 años

Une los centros de las caras de un cubo y aparece un octaedro; haz lo mismo con el octaedro y regresa el cubo: son duales. El dodecaedro y el icosaedro forman la otra pareja, y el tetraedro es dual de sí mismo. Por eso ambos miembros de cada pareja comparten exactamente las mismas simetrías (la pieza vecina de la sala explora las del dodecaedro y el icosaedro).

Platón los asoció con los elementos en su diálogo Timeo —el tetraedro con el fuego, el cubo con la tierra, el octaedro con el aire, el icosaedro con el agua y el dodecaedro con el universo entero—, y de ahí les quedó el nombre. Pero sus propiedades se conocían mucho antes de que Platón naciera: en el Museo Ashmolean de Oxford se conservan piedras talladas en Gran Bretaña hace unos 4000 años, mil años anteriores a Platón, con estas formas.

Euclides cerró sus Elementos construyéndolos y demostrando que no hay otros. En 1596 Johannes Kepler intentó explicar las distancias entre las órbitas planetarias encajando los cinco sólidos uno dentro de otro; la idea era hermosa y resultó falsa —él mismo la abandonó al no lograr que las órbitas cuadraran—, pero de esa búsqueda obsesiva de armonía salieron después sus leyes verdaderas del movimiento planetario, publicadas en Harmonices mundi (1619).

Hoy los encontramos en la naturaleza: cristales de sal cúbicos, virus con cápsides icosaédricas y radiolarios microscópicos con las cinco formas.

Para explorar en la sala

• Cuenta y calcula. Para cada sólido cuenta sus caras \(C\), sus vértices \(V\) y sus aristas \(A\), y calcula \(C - A + V\). ¿Qué notas? (La respuesta está en la tabla de arriba, y es la fórmula de Euler.)
• Constrúyelos. Con el material de la mesa, arma algunos y explica con tu experiencia por qué solo pueden existir cinco.
• Búscalos por toda la sala. Los sólidos platónicos no viven solo en esta pieza: asómate a los rolidoscopios y encuéntralos formados por espejos, y búscalos también en la sección de dimensiones. ¿Cuántos puedes cazar?
• Conoce a sus parientes raros. En esta sala hay otros poliedros fascinantes que no son platónicos: el toro de los siete colores (poliedro de Szilassi), el tetraedro de Reuleaux entre las curvas de ancho constante y el hipercubo quiral mexicano.

Para pensar

¿Existirán otros poliedros regulares si permitimos que sus caras no sean convexas? La respuesta es sí: son los poliedros de Kepler-Poinsot, hechos con pentágonos estrellados, y hay exactamente cuatro. Uno de ellos, el dodecaedro estrellado, comparte simetrías con el dodecaedro común: búscalo en la pieza sobre las simetrías del dodecaedro y del icosaedro.