Superficies regladas

Parece una contradicción: una superficie curva construida solo con líneas rectas. Sin embargo existen, se llaman superficies regladas, y el aparato de la sala te deja crear una: al girar el marco, las varillas rectas (o los hilos tensos) se inclinan y aparece ante tus ojos un elegante hiperboloide.

Rectas escondidas en lo curvo

Una superficie es reglada si por cada uno de sus puntos pasa al menos una recta completa contenida en la superficie. Los ejemplos van de lo obvio a lo asombroso:

• El cilindro y el cono: rectas paralelas o concurrentes girando alrededor de un eje.
• El helicoide, la forma de una rampa de caracol: una recta horizontal que sube girando.
• La silla de montar \(z = xy\) (paraboloide hiperbólico), la forma de las papas fritas onduladas.
• El hiperboloide de un manto, $\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1,\)$ generado al girar una recta inclinada alrededor de un eje que no la cruza.

Estos dos últimos son doblemente reglados: por cada punto pasan dos rectas distintas contenidas en la superficie. Después del plano, son las únicas superficies con esa propiedad.

Arquitectura que se sostiene con rectas

Las superficies regladas son un regalo para ingenieros y arquitectos: se cimbran con tablones rectos y se refuerzan con varillas rectas, aunque el resultado sea curvo. Las torres de enfriamiento de las plantas eléctricas son hiperboloides; Gaudí llenó la Sagrada Familia de helicoides y paraboloides hiperbólicos; y el arquitecto hispano-mexicano Félix Candela convirtió a la Ciudad de México en la capital mundial del paraboloide hiperbólico, con cascarones de concreto delgadísimos como los del restaurante Los Manantiales en Xochimilco o el Palacio de los Deportes.

Para pensar

La esfera es curva y el hiperboloide también, pero ninguna recta cabe dentro de una esfera. La diferencia la mide la curvatura gaussiana: negativa (forma de silla) en las superficies doblemente regladas, positiva en la esfera. ¿Puedes ver por qué una superficie que contiene rectas no puede curvarse "hacia el mismo lado" en todas las direcciones?