Teorema de Pitágoras

Es quizá el teorema más famoso de todas las matemáticas. En un triángulo rectángulo con catetos \(a\) y \(b\) e hipotenusa \(c\),

Dicho con figuras: el cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene exactamente la misma área que los dos cuadrados construidos sobre los catetos, juntos. El aparato de la sala te deja comprobarlo físicamente: el líquido (o las piezas) que llenan los dos cuadrados chicos llenan con precisión el cuadrado grande.

La escuela secreta

Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego del siglo VI a. C., y alrededor de él se formó algo más parecido a una hermandad que a una escuela. Para los pitagóricos el conocimiento era sagrado: había reglas estrictas y niveles de iniciación, y solo a quienes alcanzaban los grados más avanzados se les revelaban los secretos de la comunidad. Se tomaban muy en serio aquello de que el conocimiento es poder, y llegaron a tener una influencia notable en su época.

En el aparato de la sala puedes hacer tu propia iniciación: gira los cuadrados y observa cómo las áreas de los catetos \(a\) y \(b\) llenan exactamente el cuadrado de la hipotenusa \(c\). Ahí, con los ojos, se ve que \(a^2 + b^2 = c^2\).

Mucho más viejo que Pitágoras

Aunque lleva el nombre del sabio griego (siglo VI a. C.), la relación ya se usaba mil años antes: tablillas babilónicas como Plimpton 322 registran ternas de números que la cumplen, y en India y China se conocía de forma independiente. Lo que la tradición atribuye a la escuela pitagórica es la demostración: el paso de "funciona en estos ejemplos" a "es cierto siempre".

Hoy se conocen más de 400 demostraciones distintas —por rearreglo de piezas, por semejanza de triángulos, incluso una del presidente estadounidense James Garfield—. Y la lista sigue creciendo: en 2022, dos estudiantes de bachillerato de Nueva Orleans, Calcea Johnson y Ne'Kiya Jackson, encontraron una demostración nueva usando trigonometría, algo que durante mucho tiempo se creyó imposible porque parecía condenado a razonar en círculo.

Una demostración es el detective de las matemáticas

¿Y por qué tanto empeño en demostrar algo que ya vimos funcionar? Porque una demostración no se conforma con decir «esto es verdad»: busca pistas, arma el caso y convence al jurado —tú— con lógica pura de que el resultado funciona siempre, en todos los triángulos rectángulos que existen y que podrían existir. Así sabemos que no es suerte ni casualidad de los ejemplos que probamos.

Egipcios y babilonios conocían casos particulares. Lo que la tradición atribuye a Pitágoras es haber cerrado el caso.

Ternas pitagóricas

Las soluciones enteras, como \((3,4,5)\) o \((5,12,13)\), se llaman ternas pitagóricas y hay una infinidad de ellas. Los antiguos las usaban para trazar ángulos rectos con una cuerda anudada.

Cambiar el exponente lo cambia todo: la ecuación \(a^n + b^n = c^n\) con \(n \ge 3\) no tiene soluciones enteras positivas. Ese es el célebre último teorema de Fermat, enunciado en 1637 y demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles.

Un teorema que usamos todos los días

Es de los teoremas más usados de la vida cotidiana, porque sirve para calcular distancias. Se aplica al levantar un edificio y verificar que las esquinas queden a escuadra, al localizar el epicentro de un sismo combinando lo que registran varias estaciones, al calcular rutas en un GPS y hasta en el diseño de videojuegos, donde cada vez que un personaje se mueve en diagonal alguien está usando \(\sqrt{a^2+b^2}\) sin darse cuenta.

Para pensar

El teorema también funciona al revés: si los lados de un triángulo cumplen \(a^2+b^2=c^2\), el triángulo es rectángulo. ¿Y si \(a^2+b^2 > c^2\), el ángulo opuesto a \(c\) será mayor o menor que \(90°\)?