Tesselart

¿Cómo dibujaba M. C. Escher sus mosaicos de aves, peces y lagartijas que embonan a la perfección? No era magia ni ensayo y error: era un método geométrico preciso, y en esta pieza puedes usarlo tú para crear tus propias criaturas teseladoras.

La receta de Escher

Parte de una figura que ya sabes que cubre el plano —un cuadrado, un triángulo, un hexágono— y modifícala con trampa:

1. Recorta un pedazo de un lado.
2. Pega ese mismo pedazo en el lado opuesto (trasladado), o en el mismo lado girado alrededor de un vértice o del punto medio.
3. Repite con los otros lados.

Como todo lo que quitas lo devuelves en el lugar correspondiente, el área no cambia y la nueva figura sigue embonando consigo misma. Ahora inclínate sobre ella, gírala, míralale un ojo y una aleta: si tu recorte fue afortunado, la mancha se convierte en pez, pájaro o jaguar.

Qué hacer en el aparato

Haz un dibujo y verás que se repite en la pantalla siguiendo un patrón. Puedes cambiarle el color, el grosor de la línea y rotarlo. Presiona el botón de isometrías para elegir entre los distintos tipos de patrón: hay 17 para explorar.

¿Por qué exactamente 17?

La pregunta suena arbitraria, pero la respuesta tiene la misma forma que un acertijo aritmético: ¿de cuántas maneras se puede sumar exactamente \(2\) usando números tomados de una lista fija de fracciones? Solo unas cuantas combinaciones dan la suma justa, y cada combinación válida corresponde a un patrón posible.

En el caso de los mosaicos, lo que hay que ajustar son los ángulos alrededor de cada punto de giro: los giros permitidos solo pueden ser de \(\tfrac12\), \(\tfrac13\), \(\tfrac14\) o \(\tfrac16\) de vuelta (la famosa restricción cristalográfica: nunca de \(\tfrac15\)), y las combinaciones que encajan sin dejar huecos ni traslapes son, al final de la cuenta, diecisiete. Ni una más.

La matemática de fondo: los 17 grupos

Detrás de cada mosaico periódico hay un grupo de simetrías: el conjunto de movimientos rígidos (traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones con deslizamiento) que dejan el patrón idéntico. Un teorema clásico, demostrado por Fedorov en 1891, dice que solo existen 17 grupos de simetría posibles para los patrones periódicos del plano: todo papel tapiz, todo azulejo, todo mosaico del mundo pertenece a una de esas 17 familias. En los mosaicos de la Alhambra de Granada —que Escher visitó en 1922 y 1936, y que cambió su vida— se han identificado representantes de prácticamente todas.

El tipo de "trampa" que uses al deformar decide el grupo resultante: solo traslaciones dan el grupo llamado p1; rotaciones de \(180°\) dan p2; combinaciones con espejos y deslizamientos van llenando el catálogo.

Para pensar

Las simetrías con espejo son difíciles de usar con figuras vivas (una lagartija y su imagen especular no embonan igual). ¿Puedes crear una criatura usando solo giros de \(90°\) en las esquinas de un cuadrado? Escher lo hizo con sus famosos reptiles.